Bài 1.2: Biến cố và mối quan hệ giữa các biến cố

1) Biến cố

Với mỗi sự kiện $A$ đều có duy nhất một tập hợp $\Omega_A$ là tập hợp các kết quả thuận lợi cho sự kiện $A$ hay nói cách khác làm cho sự kiện $A$ xảy ra. Ta đồng nhất $A$ với $\Omega_A$ . Khi đó $A$ chính là tập hợp các kết quả thuận lợi cho $A$ . Ta thấy $A$ là một tập con của không gian mẫu $\Omega$ , và ta gọi $A$ là một biến cố. Như vậy mỗi tập con $A$ của không gian mẫu $\Omega$ được gọi là một biến cố. Ta thường dùng các chữ cái in hoa $A, B, C,\ldots$ để ký hiệu biến cố.

Ví dụ

Gieo con xúc sắc một lần, đây là một phép thử ngẫu nhiên với không gian mẫu $\Omega=\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ , trong đó $i$ là kết quả: “Xuất hiện mặt $i$ chấm”. Xét sự kiện $A$ : “Số chấm trên mặt xuất hiện là một số chẵn”. Ta thấy rằng việc xảy ra hay không xảy ra sự kiện $A$ tùy thuộc vào kết quả của phép thử. Sự kiện $A$ xảy ra khi và chỉ khi kết quả của phép thử là 2, hoặc 4, hoặc 6. Các kết quả này được gọi là các kết quả thuận lợi cho $A$ . Gọi $\Omega_A$ là tập hợp tất cả các kết quả thuận lợi cho $A$ , khi đó $\Omega_A=\{2, 4, 6\}$ , đó là một tập con của $\Omega$ .

Mỗi biến cố $A$ được đồng nhất với tập hợp tất cả các kết quả thuận lợi cho $A$ là $\Omega_A$ . Do đó ta có thể viết

$A=\{2, 4, 6\}.$

2) Các loại biến cố

Trong thực tế ta có thể gặp các loại biến cố sau đây:

$\bullet$ Biến cố chắc chắn là biến cố luôn luôn xảy ra khi thực hiện phép thử ngẫu nhiên, biến cố này trùng với không gian mẫu $\Omega$ .
Ví dụ: Tung một con xúc xắc, gọi $A$ là biến cố: “Con xúc xắc xuất hiện mặt có số chấm $\leqslant 6$ ” thì $A$ là biến cố chắc chắn.

$\bullet$ Biến cố không thể là biến cố không bao giờ xảy ra khi thực hiện phép thử ngẫu nhiên. Biến cố không thể được ký hiệu là $\emptyset$ .

Ví dụ: Tung một con xúc xắc, gọi $B$ là biến cố: “ Xuất hiện mặt 7 chấm” thì $B$ là biến cố không thể.

3) Quan hệ giữa các biến cố

a) Quan hệ kéo theo

Biến cố $A$ được gọi là kéo theo biến cố $B$ và ký hiệu $A\subset B$ hoặc $B\supset A$ nếu $A$ xảy ra thì $B$ xảy ra.

Ví dụ: Khi tung một con xúc xắc, gọi $A$ là biến cố: “Xuất hiện mặt có chấm số chấm $\geqslant 5$ ”, $B$ là biến cố: “Xuất hiện mặt có chấm số chấm $\geqslant 3$ ”. Ta thấy nếu $A$ xảy ra thì $B$ cũng xảy ra. Do đó biến cố $A$ kéo theo biến cố $B$ .

b) Biến cố đối

Biến cố đối của biến cố $A$ được kí hiệu là $\overline{A}$ và được xác định như sau: $A$ xảy ra khi và chỉ khi $\overline{A}$ không xảy ra.

Ví dụ: Khi tung một con xúc xắc. Gọi $A$ là biến cố: “Xuất hiện mặt chẵn chấm”, $B$ là biến cố: “Xuất hiện mặt lẻ chấm”. Rõ ràng $A$ và $B$ là hai biến cố đối nhau.

c) Tổng của các biến cố

Tổng của hai biến cố $A$ và $B$ là biến cố được ký hiệu $A\cup B$ . Biến cố $A\cup B$ xảy ra khi ít nhất có một trong hai biến cố $A$ và $B$ xảy ra.

Ví dụ: Chọn ngẫu nhiên từ hai lớp 10A, 10B mỗi lớp một học sinh. Gọi $A$ là biến cố: “Bạn chọn từ lớp 10A là nam” , $B$ là biến cố: “Bạn chọn từ lớp 10B là nam” và C là biến cố: “Chọn được học sinh nam”. Rõ ràng biến cố $C$ xảy ra khi có ít nhất một trong hai biến cố $A$ và $B$ xảy ra. Vậy $C=A\cup B$ .

Nếu $A_1, A_2,\ldots, A_n$ là các biến cố thì tổng của chúng là biến cố xảy ra nếu ít nhất có một biến cố nào đó trong các biến cố $A_1, A_2,\ldots, A_n$ xảy ra. Ta kí hiệu tổng của $A_1, A_2,\ldots, A_n$ là $A_1\cup A_2\cup\cdots\cup A_n$ hoặc $\displaystyle\bigcup\limits_{k=1}^{n}A_k$ .

d) Tích của các biến cố

Tích của hai biến cố $A$ và $B$ là biến cố xảy ra nếu cả hai biến cố $A$ và $B$ đều xảy ra. Ta kí hiệu tích của hai biến cố $A$ và $B$ là $AB$ .

Ví dụ: Tung một con xúc xắc, gọi $A$ là biến cố: “Xuất hiện mặt có chấm số chấm $\geqslant 4$ ”, $B$ là biến cố: “Xuất hiện mặt có chấm số chấm $\leqslant 4$ ” và $C$ là biến cố: “Xuất hiện mặt 4 chấm”. Ta thấy rằng biến cố $C$ xảy ra khi và chỉ khi hai biến cố $A$ và $B$ đều xảy ra. Do đó $C=AB$ .

Tích của các biến cố $A_1, A_2,\ldots, A_n$ là một biến cố xảy ra nếu tất cả các biến cố $A_1, A_2,\ldots, A_n$ đều xảy ra. Ta kí hiệu tích của $A_1, A_2,\ldots, A_n$ là $A_1A_2\ldots A_n$ hoặc $\displaystyle\prod\limits_{k=1}^{n}A_k$ .

e) Hai biến cố tương đương

Hai biến cố $A$ và $B$ gọi là tương đương nếu $A\subset B$ và $B\subset A$ . Khi đó ta kí hiệu $A=B$ .

Ví dụ: Khi tung một con xúc xắc, gọi $A$ là biến cố: “Xuất hiện mặt 5 chấm”, $B$ là biến cố: “Xuất hiện mặt lẻ chấm lớn hơn 3”. Ta thấy nếu $A$ xảy ra thì $B$ cũng xảy ra và ngược lại nếu $B$ xảy ra thì $A$ cũng xảy ra. Vậy $A= B$ .

f) Biến cố xung khắc

Hai biến cố $A$ và $B$ được gọi là xung khắc nếu chúng không thể đồng thời xảy ra, nghĩa là $AB$ là biến cố không thể, $AB=\emptyset$ .

Ví dụ: Tung một con xúc xắc, gọi $A$ là biến cố: “Xuất hiện mặt có chấm số chấm $\geqslant 4$ ”, $B$ là biến cố: “Xuất hiện mặt có chấm số chấm $\leqslant 2$ ”. Ta thấy hai biến cố $A$ và $B$ không cùng xảy ra, do đó $A$ và $B$ là hai biến cố xung khắc.