Bài 1.3: Xác suất của biến cố

1) Xác suất của biến cố

Trong cuộc sống hằng ngày, khi nói về biến cố ta thường nói biến cố này có nhiều khả năng xảy ra, biến cố kia có ít khả năng xảy ra, biến cố này có nhiều khả năng xảy ra hơn biến cố kia. Toán học đã định lượng hóa các khả năng này bằng cách gán cho mỗi biến cố một số không âm, nhỏ hơn hay bằng 1, gọi là xác suất của biến cố đó. Xác suất của biến cố $A$ được ký hiệu là $\Bbb P(A)$ , nó đo lường khả năng khách quan sự xuất hiện của biến cố $A$ .

Định nghĩa 1

Giả sử $\Omega=\{\omega_1, \omega_2,\ldots, \omega_N\}$ là không gian mẫu mà các kết quả có cùng khả năng xuất hiện. Khi đó xác suất của biến cố $A$ được xác định bằng công thức

$\Bbb P(A)=\displaystyle\frac{|A|}{|\Omega|}=\displaystyle\frac{n_A}{N},$

ở đây $|A|=n_A$ là số phần tử của $A$ .

Như vậy xác suất của biến cố $A$ là tỉ số giữa số kết quả $n_A$ thuận lợi cho biến cố $A$ và tổng số các kết quả đồng khả năng $n$ có thể xảy ra khi thực hiện phép thử đó.

Ví dụ 1

Gieo một con xúc xắc cân đối, đồng chất và quan sát số chấm xuất hiện.

a) Mô tả không gian mẫu.

b) Xác định các biến cố sau:

$A$ : “Xuất hiện mặt chẵn chấm”,

$B$ : “Xuất hiện mặt lẻ chấm”,

$C$ : “Xuất hiện mặt có số chấm không nhỏ hơn 2.

c) Tính xác suất của các biến cố trên.

Lời giải

a) Ký hiệu $k$ là kết quả: “Con xúc xắc suất hiện mặt $k$ chấm”, $k=1, 2, 3, 4, 5, 6$ . Khi đó không gian mẫu

$\Omega=\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}.$

b) Ta có

$A=\{2, 4, 6\}, B=\{1, 3, 5\}, C=\{2, 3, 4, 5, 6\}.$

c) Từ câu b, ta suy ra

$\Bbb P(A)=\displaystyle\frac{|A|}{|\Omega|}=\displaystyle\frac{3}{6},$

$\Bbb P(B)=\displaystyle\frac{|B|}{|\Omega|}=\displaystyle\frac{3}{6},$

$\Bbb P(C)=\displaystyle\frac{|C|}{|\Omega|}=\displaystyle\frac{5}{6}$ .

Ví dụ 2

Một công ty cần tuyển hai nhân viên. Có 6 người nộp đơn, trong đó có 4 nam và 2 nữ. Giả sử rằng khả năng trúng tuyển của 6 người là như nhau. Tính xác suất để cả hai người trúng tuyển đều là nam.

Lời giải

Số trường hợp có thể là $C_6^2$ . Các trường hợp này là đồng khả năng. Số cách chọn 2 nam trúng tuyển trong 4 nam là $C_4^2$ . Vậy xác suất cần tìm là

$\displaystyle\frac{C_4^2}{C_6^2}=\displaystyle\frac{6}{15}=\displaystyle\frac{2}{5}$ .

Ví dụ 3

Gieo đồng thời hai con xúc xắc cân đối đồng chất, một con màu đỏ và một con màu xanh. Tính xác suất để có ít nhất một con xúc xắc xuất hiện mặt 5 chấm.

Lời giải

Ta có

$\Omega=\{(i, j): 1\leqslant i, j\leqslant 6\},$

trong đó $(i, j)$ là kết quả: “Con xúc xắc màu đỏ xuất hiện mặt $i$ chấm, con xúc xắc màu xanh xuất hiện mặt $j$ chấm”.

Khi đó $|\Omega|=36$ .

Gọi $A$ là biến cố: “Có ít nhất một con xúc xắc xuất hiện mặt 5 chấm”.

Ta có

$A=\{(1, 5), (2, 5), (3, 5), (4, 5), (5, 5), (6, 5), (5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 6)\}.$

Do đó

$\mathbb P(A)=\displaystyle\frac{|A|}{|\Omega |}=\frac{11}{36}.$

2) Các tính chất của xác suất

Ta có các tính chất sau đây của xác suất:

$\bullet$ $\Bbb P(\emptyset)=0$ , $\Bbb P(\Omega)=1$ , $0\leqslant\Bbb P(A)\leqslant 1$ .

$\bullet$ $\Bbb P(A\cup B)=\Bbb P(A)+\Bbb P(B)-\Bbb P(AB)$ .

$\bullet$ Nếu $A$ , $B$ là hai biến cố xung khắc thì

$\Bbb P(A\cup B)=\Bbb P(A)+\Bbb P(B).$

$\bullet$ Với ba biến cố $A, B, C$ bất kỳ ta có

$\Bbb P(A\cup B\cup C)=\Bbb P(A)+\Bbb P(B)+\Bbb P(C)-\Bbb P(AB)-\Bbb P(AC)-\Bbb P(BC)+\Bbb P(ABC).$

$\bullet$ Nếu ba biến cố $A, B, C$ đôi một xung khắc, ta có

$\Bbb P(A\cup B\cup C)=\Bbb P(A)+\Bbb P(B)+\Bbb P(C).$

$\bullet$ $\Bbb P(\overline{A})=1-\Bbb P(A)$ .

$\bullet$ Nếu $A\subset B$ thì $\Bbb P(A)\leqslant\Bbb P(B)$ .

$\bullet$ Nếu $A_1, A_2,\ldots, A_n$ là các biến cố bất kỳ, khi đó ta có

$\Bbb P(A_1\cup A_2\cup\cdots\cup A_n)=\displaystyle\sum\limits_{k=1}^{n}(-1)^{k+1}\displaystyle\sum\limits_{1\leqslant i_1<\cdots<i_k\leqslant n}^{}\Bbb P(A_{i_1}A_{i_2}\ldots A_{i_k}).$

$\bullet$ Nếu $A_1, A_2,\ldots, A_n$ là các biến cố xung khắc từng đôi một, nghĩa là $A_iA_j=\emptyset$ với mọi $i\neq j$ , ta có

$\Bbb P(A_1\cup A_2\cup\cdots\cup A_n)=\Bbb P(A_1)+\Bbb P(A_2)+\cdots+\Bbb P(A_n).$

Ví dụ 4

Một chiếc hộp có 9 thẻ đánh số từ 1 đến 9. Rút ngẫu nhiên hai thẻ rồi nhân hai số ghi trên hai thẻ với nhau. Tính xác suất để kết quả nhận được là một số chẵn.

Lời giải

Gọi $A$ là biến cố: “Rút được một thẻ chẵn và một thẻ lẻ”, $B$ là biến cố: “Rút được hai thẻ chẵn”. Khi đó $A\cup B$ là biến cố: “Tích hai số ghi trên hai thẻ là một số chẵn”.

Vì có 4 thẻ chẵn và 5 thẻ lẻ nên

$\Bbb P(A)=\displaystyle\frac{C_4^1C_5^1}{C_9^2}=\displaystyle\frac{20}{36},$

$\Bbb P(B)=\displaystyle\frac{C_4^2}{C_9^2}=\displaystyle\frac{6}{36}.$

Mặt khác, vì $A, B$ là hai biến cố xung khắc nên

$\Bbb P(A\cup B)=\Bbb P(A)+\Bbb P(B).$

Do đó

$\Bbb P(A\cup B)=\Bbb P(A)+\Bbb P(B)$

$=\displaystyle\frac{20}{36}+\displaystyle\frac{6}{36}$

$=\displaystyle\frac{26}{36}$

$=\displaystyle\frac{13}{18}.$

Ví dụ 5

Một hộp đựng 4 viên bi xanh, 3 viên bi đỏ và 2 viên bi vàng. Chọn ngẫu nhiên 2 viên bi.

a) Tính xác suất để chọn được 2 viên bi cùng màu.

b) Tính xác suất để chọn được 2 viên bi khác màu.

Lời giải

a) Gọi $A$ là biến cố: “Chọn được 2 viên bi xanh”, $B$ là biến cố: “Chọn được 2 viên bi đỏ”, $C$ là biến cố: “Chọn được 2 viên bi vàng” và $H$ là biến cố: “Chọn được 2 viên bi cùng màu”. Khi đó $H=A\cup B\cup C$ và các biến cố $A, B, C$ đôi một xung khắc.

Ta có

$\Bbb P(A)=\displaystyle\frac{C_4^2}{C_9^2}=\displaystyle\frac{6}{36},$

$\Bbb P(B)=\displaystyle\frac{C_3^2}{C_9^2}=\displaystyle\frac{3}{36},$

$\Bbb P(C)=\displaystyle\frac{C_2^2}{C_9^2}=\displaystyle\frac{1}{36}.$

Vì ba biến cố $A, B, C$ đôi một xung khắc nên

$\Bbb P(A\cup B\cup C)=\Bbb P(A)+\Bbb P(B)+\Bbb P(C).$

Do đó

$\Bbb P(H)=\Bbb P(A\cup B\cup C)$

$=\Bbb P(A)+\Bbb P(B)+\Bbb P(C)$

$=\displaystyle\frac{6}{36}+\displaystyle\frac{3}{36}+\displaystyle\frac{1}{36}$

$=\displaystyle\frac{5}{18}.$

b) Vì $H$ là biến cố: “Chọn được 2 viên bi cùng màu” nên $\overline{H}$ là biến cố: “Chọn được 2 viên bi khác màu”. Vậy

$\Bbb P(\overline{H})=1-\Bbb P(H)=1-\displaystyle\frac{5}{18}=\displaystyle\frac{13}{18}.$

Ví dụ 6

Gieo đồng thời ba con xúc xắc cân đối đồng chất. Tính xác suất để ít nhất có một con xúc sắc ra 3 chấm.

Lời giải

Không gian mẫu

$\Omega=\{(i, j, k): 1\leqslant i, j, k\leqslant 6\},$

ở đây $(i, j, k)$ là kết quả: “Con xúc xắc thứ nhất xuất hiện mặt $i$ chấm, con xúc xắc thứ hai xuất hiện mặt $j$ chấm và con xúc xắc thứ ba xuất hiện mặt $k$ chấm”.

Gọi $A$ là biến cố: “Ít nhất một con xúc sắc ra 3 chấm”. Khi đó $\overline{A}$ là biến cố: “Không có con xúc sắc nào ra 3 chấm”, do đó

$\overline{A}=\{(i, j, k): 1\leqslant i, j, k\leqslant 6, i, j, k\neq 3\}.$

Suy ra

$\Bbb P(\overline{A})=\displaystyle\frac{|\overline{A}|}{|\Omega|}=\displaystyle\frac{5^3}{6^3}.$

Do đó

$\Bbb P(A)=1-\Bbb P(\overline{A})=1-\displaystyle\frac{5^3}{6^3}=\displaystyle\frac{91}{216}.$

Ví dụ 7

Trong hòm có 10 chi tiết, trong đó có 2 chi tiết hỏng. Tìm xác suất để khi lấy ngẫu nhiên ra 6 chi tiết thì có không quá một chi tiết hỏng.

Lời giải

Gọi $A$ là biến cố: “Trong 6 chi tiết lấy ra có không quá 1 chi tiết hỏng”, $B$ là biến cố: “Trong 6 chi tiết lấy ra không có chi tiết nào hỏng”, $C$ là biến cố: “Trong 6 chi tiết lấy ra có 1 chi tiết hỏng”. Vì biến cố $A$ xảy ra khi ít nhất có một trong hai biến cố $B$ và $C$ xảy ra nên $A=B\cup C$ .

Dễ thấy hai biến cố $B$ và $C$ xung khắc với nhau nên ta có

$\Bbb P(B\cup C)=\Bbb P(B)+\Bbb P(C).$

Do đó

$\Bbb P(A)=\Bbb P(B)+\Bbb P(C).$

Theo định nghĩa xác suất

$\Bbb P(B)=\displaystyle\frac{C_8^6}{C_{10}^6},$

$\Bbb P(C)=\displaystyle\frac{C_8^5\times C_2^1}{C_{10}^6}.$

Vậy

$\Bbb P(A)=\Bbb P(B)+\Bbb P(C)=\displaystyle\frac{C_8^6}{C_{10}^6}+\displaystyle\frac{C_8^5\times C_2^1}{C_{10}^6}=\displaystyle\frac{2}{3}.$

Ví dụ 8

Một người bỏ ngẫu nhiên $n$ lá thư vào $n$ phong bì đã đề sẵn tên người nhận để gửi cho $n$ người. Tính xác suất để không có một lá thư nào bỏ đúng phong bì của nó.

Lời giải

Gọi $A_i$ là biến cố: “Lá thư thứ $i$ bỏ đúng phong bì của nó”, $i=1,2,\ldots,n$ .

Khi đó $A_1\cup A_2\cup\cdots\cup A_n$ là biến cố: “Có ít nhất một lá thư bỏ đúng phong bì của nó”. Do đó $A=\overline{A_1\cup A_2\cup\cdots\cup A_n}$ là biến cố: “Không có một lá thư nào bỏ đúng phong bì của nó”.

Ta có

$\Bbb P(A)=1-\Bbb P(A_1\cup A_2\cup\cdots\cup A_n).$

Mặt khác

$\Bbb P(A_1\cup A_2\cup\cdots\cup A_n)=\displaystyle\sum\limits_{k=1}^{n}(-1)^{k+1}\displaystyle\sum\limits_{1\leqslant i_1<\cdots<i_k\leqslant n}^{}\Bbb P(A_{i_1}\ldots A_{i_k}).$

Xét $1\leqslant i_1<\cdots<i_k\leqslant n$ , khi đó số trường hợp có thể xảy ra khi ta bỏ thư vào $n$ phong bì là $n!$ còn số trường hợp thuận lợi cho biến cố $A_{i_1}\ldots A_{i_k}$ là $(n-k)!$ . Do đó ta có

$\Bbb P(A_{i_1}\ldots A_{i_k})=\displaystyle\frac{(n-k)!}{n!}=\displaystyle\frac{1}{k!C_n^k}.$

Suy ra

$\Bbb P(A_1\cup A_2\cup\cdots\cup A_n)=\displaystyle\sum\limits_{k=1}^{n}(-1)^{k+1}\displaystyle\sum\limits_{1\leqslant i_1<\cdots<i_k\leqslant n}^{}\Bbb P(A_{i_1}\ldots A_{i_k})$