Bài 2.1: Biến ngẫu nhiên

1) Khái niệm biến ngẫu nhiên

Ta xét ví dụ sau đây:

Gọi $X$ là số lần xuất hiện mặt sấp khi tung một đồng xu cân đối đồng chất hai lần, khi đó không gian mẫu $\Omega$

$\Omega=\{SS, SN, NS, NN\}.$

Ta thấy $X$ có thể nhận 3 giá trị là 0; 1; 2 và ứng với mỗi kết quả $\omega\in\Omega$ thì cho ta một giá trị duy nhất $X(\omega)$ của $X$ . Chẳng hạn ứng với kết quả $NN$ cho ta giá trị của $X$ bằng $0$ , ứng với kết quả $SN$ cho ta giá trị của $X$ bằng 1. Do đó $X$ là một hàm số đi từ $\Omega$ vào $\Bbb R$ . Ta gọi $X$ là một biến ngẫu nhiên.

Định nghĩa

Xét phép thử ngẫu nhiên có không gian mẫu $\Omega$ . Biến ngẫu nhiên có thể hiểu là đại lượng biến đổi mà giá trị của nó phụ thuộc vào các kết quả của phép thử ngẫu nhiên. Nói cách khác, biến ngẫu nhiên $X$ là hàm số $X: \Omega\longrightarrow\Bbb R$ .

Với $x\in\Bbb R$ , ta ký hiệu

$(X < x):=\{\omega\in\Omega: X(\omega)<x\},$

$(X = x):=\{\omega\in\Omega: X(\omega)=x\}.$

Như vậy

$(X < x)\subset\Omega, (X = x)\subset\Omega.$

Tổng quát hơn nếu $S\subset\Bbb R$ , ta ký hiệu

$(X\in S):=\{\omega\in\Omega: X(\omega)\in S\}.$

Ví dụ 1

Gọi $X$ là số lần xuất hiện mặt sấp khi tung một đồng xu cân đối đồng chất hai lần. Khi đó

$(X<1,5)=\{NN, SN, NS\},$

$(X=1)=\{SN, NS\},$

$(0<X<3)=\{SN, NS, SS\}$

Ta dùng các chữ cái hoa như $X, Y, Z,\ldots$ để ký hiệu biến ngẫu nhiên.

2) Phân loại biến ngẫu nhiên

Người ta phân các biến ngẫu nhiên thành hai loại: Biến ngẫu nhiên rời rạc và biến ngẫu nhiên liên tục. Định nghĩa chi tiết mỗi loại biến ngẫu nhiên sẽ được trình bày chi tiết trong mỗi bài cụ thể.

3) Hàm phân bố xác suất của biến ngẫu nhiên

Định nghĩa

Cho biến ngẫu nhiên $X$ , hàm số $F(x)=\Bbb P(X< x)$ với mọi $x\in\Bbb R$ được gọi là hàm phân bố xác suất của biến ngẫu nhiên $X.$