Bài 2.2: Biến ngẫu nhiên rời rạc

Đăng trong Tháng Tư 6, 2013 bởi math4rum

1) Định nghĩa biến ngẫu nhiên rời rạc

Biến ngẫu nhiên X được gọi là rời rạc nếu nó chỉ nhận một số hữu hạn giá trị.

Ví dụ 1:

  • Gọi X là số lần xuất hiện mặt sấp khi tung một đồng xu cân đối đồng chất hai lần. Ta thấy X có thể nhận 3 giá trị là 0; 1; 2 nên X là biến ngẫu nhiên rời rạc.
  • Tung một con xúc xắc cân đối đồng chất. Gọi X là số chấm xuất hiện trên mặt con xúc xắc thì X  có thể nhận 6 giá trị là 1; 2; 3; 4; 5; 6 nên X là biến ngẫu nhiên rời rạc.

2) Bảng phân bố xác suất của biến ngẫu nhiên rời rạc

Giả sử X là biến ngẫu nhiên rời rạc và X nhận n giá trị là x_1, x_2,\ldots, x_n.

Đặt p_k=\Bbb P(X=x_k), k=1, 2,\ldots,n.

Khi đó bảng phân bố xác suất của biến ngẫu nhiên X là

\begin{array}{|c| c| c| c| c| } \hline X & x_1 & x_2 & \ldots & x_n \\ \hline \Bbb P & p_1 & p_2 & \ldots & p_n \\\hline\end{array}.

Ta thấy rằng

\begin{cases} p_k\geqslant 0, k=1, 2,\ldots, n,\\ p_1+p_2+\cdots+p_n=1.\end{cases}

Ví dụ 2:

Tung một đồng xu cân đối đồng chất 2 lần. Gọi X là số lần xuất hiện mặt sấp. Khi đó không gian mẫu là

\Omega=\{SS, SN, NS, NN\}.

Ta có

(X=0)=\{NN\},\;(X=1)=\{SN, NS\},\;(X=2)=\{SS\}.

Do đó

\Bbb P(X=0)=\displaystyle\frac{1}{4}, \Bbb P(X=1)=\displaystyle\frac{2}{4}, \Bbb P(X=2)=\displaystyle\frac{1}{4}.

Bảng phân bố xác suất

\begin{array}{|c| c| c| c|} \hline X & 0 & 1 & 2\\ \hline \Bbb P & 1/4 & 2/4 &1/4\\ \hline\end{array}.

Bây giờ ta tìm hàm phân bố xác suất của biến ngẫu nhiên X theo công thức

F(x)=\Bbb P(X<x),\; x\in\Bbb R.

Ta xét các trường hợp của số thực x.

Khi x\leqslant 0 thì (X<x)=\emptyset. Do đó

F(x)=\Bbb P(X<x)=\Bbb P(\emptyset)=0.

Khi 0<x\leqslant 1 thì (X<x)=\{NN\}. Do đó

F(x)=\Bbb P(X<x)=\displaystyle\frac{1}{4}.

Khi 1<x\leqslant 2 thì (X<x)=\{NN, SN, NS\}. Do đó

F(x)=\Bbb P(X<x)=\displaystyle\frac{3}{4}.

Khi 2<x thì (X<x)=\{NN, SN, NS, SS\}. Do đó

F(x)=\Bbb P(X<x)=\displaystyle\frac{4}{4}=1.

Vậy

 F(x)=\begin{cases} 0 \text{ khi } x\leqslant 0,\\ 1/4\text{ khi } 0<x\leqslant 1,\\ 3/4\text{ khi } 1<x\leqslant 2,\\ 1\text{ khi } x>2.\end{cases}

Tổng quát nếu X là biến ngẫu nhiên rời rạc với bảng phân bố xác suất (x_1<x_2<\cdots<x_n)

\begin{array}{|c| c| c| c| c| } \hline X & x_1 & x_2 & \ldots & x_n \\ \hline \Bbb P & p_1 & p_2 & \ldots & p_n \\\hline\end{array}

Khi đó hàm phân bố xác suất F(x) của biến ngẫu nhiên X được xác định như sau

F(x)=\begin{cases} 0 \text{ khi } x\leqslant x_1,\\ p_1\text{ khi } x_1<x\leqslant x_2,\\ p_1+p_2\text{ khi } x_2<x\leqslant x_3,\\\ldots\\ p_1+p_2+\cdots+p_{n-1}\text{ khi } x_{n-1}<x\leqslant x_n,\\ 1\text{ khi } x>x_n.\end{cases}

Ví dụ 3:

Trong hộp có 10 sản phẩm trong đó có 6 chính phẩm. Lấy ngẫu nhiên từ hộp ra 2 sản phẩm. Gọi X là số chính phẩm lấy ra trong 2 sản phẩm. Lập bảng phân bố xác suất của X và tìm hàm phân bố xác suất của X.

Lời giải:

X là biến ngẫu nhiên rời rạc với miền giá trị \{0; 1; 2\}.

Ta thấy \Bbb P(X=0) là xác suất để trong 2 sản phẩm lấy ra không có chính phẩm nào, nói cách khác \Bbb P(X=0) là xác suất để lấy ra được 2 phế phẩm. Số cách lấy ra 2 phế phẩm là C_4^2. Vì số cách lấy ra 2 sản phẩm bất kỳ là C_{10}^2 nên xác suất để lấy ra được 2 phế phẩm là

\Bbb P(X=0)=\displaystyle\frac{C_4^2}{C_{10}^2}=\displaystyle\frac{2}{15}.

Tương tự, \Bbb P(X=1) là xác suất để trong 2 sản phẩm lấy ra có 1 chính phẩm, nói cách khác \Bbb P(X=1) là xác suất để lấy ra được 1 chính phẩm và 1 phế phẩm. Số cách lấy ra 1 chính phẩm là C_6^1, số cách lấy ra 1 phế phẩm là C_4^1. Theo quy tắc nhân thì số cách lấy ra 1 chính phẩm và 1 phế phẩm là C_6^1\times C_4^1. Vì số cách lấy ra 2 sản phẩm bất kỳ là C_{10}^2 nên xác suất để lấy ra được 1 chính phẩm và 1 phế phẩm là

\Bbb P(X=1)=\displaystyle\frac{C_6^1\times C_4^1}{C_{10}^2}=\displaystyle\frac{8}{15}.

Tương tự, \Bbb P(X=2) là xác suất để trong 2 sản phẩm lấy ra có 2 chính phẩm. Số cách lấy ra 2 chính phẩm là C_6^2. Vì số cách lấy ra 2 sản phẩm bất kỳ là C_{10}^2 nên xác suất để lấy ra được 2 chính phẩm là

\Bbb P(X=2)=\displaystyle\frac{C_6^2}{C_{10}^2}=\displaystyle\frac{5}{15}.

Bảng phân bố xác suất của biến ngẫu nhiên X

 \begin{array}{|c| c| c| c|} \hline X & 0 & 1 & 2\\ \hline \Bbb P & 2/15 & 8/15 &5/15\\ \hline\end{array}

Hàm phân bố xác suất của X

F(x)=\begin{cases} 0 \text{ khi } x\leqslant 0,\\ 2/15\text{ khi } 0<x\leqslant 1,\\ 10/15\text{ khi } 1<x\leqslant 2,\\ 1\text{ khi } x>2.\end{cases}

Bài này đã được đăng trong Bài giảng xác suất thống kê, Chương 2. Biến ngẫu nhiên và quy luật phân bố xác suất của biến ngẫu nhiên. Đánh dấu đường dẫn tĩnh.

Bình luận về bài viết này