Bài 3.1: Khái niệm vectơ ngẫu nhiên

Đăng trong Tháng Tư 7, 2013 bởi math4rum

1. Định nghĩa

Một vectơ ngẫu nhiên n chiều là một bộ có thứ tự (X_1, X_2,\ldots, X_n) với các thành phần X_1, X _2,\ldots, X_n là các biến ngẫu nhiên.

Ví dụ 1: Một nhà máy sản xuất một loại sản phẩm. Nếu kích thước của sản phẩm được đo bằng chiều dài X và chiều rộng Y thì ta có vectơ ngẫu nhiên hai chiều (X, Y), còn nếu xét thêm cả chiều cao Z nữa thì ta có  vectơ ngẫu nhiên ba chiều (X, Y, Z).

Vectơ ngẫu nhiên n chiều X =(X_1, X_2,\ldots, X_n) là liên tục hay rời rạc nếu tất cả các biến ngẫu nhiên thành phần X_1, X _2,\ldots, X_n là liên tục hay rời rạc.

2. Hàm phân bố xác suất của vectơ ngẫu nhiên

Cho vectơ ngẫu nhiên X =(X_1, X_2,\ldots, X_n). Xét hàm số F_X: \Bbb R^n\longrightarrow\Bbb R xác định bởi

F_X(x_1, x_2,\ldots,x_n)=\Bbb P(X_1<x_1,X_2<x_2,\ldots,X_n<x_n)

với mọi (x_1, x_2,\ldots,x_n)\in\Bbb R^n.

Hàm F_X(x_1, x_2,\ldots,x_n) được gọi là hàm phân bố xác suất của vectơ ngẫu nhiên X hay được gọi là hàm phân bố đồng thời của các biến ngẫu nhiên X_1, X _2,\ldots, X_n.

Hàm mật độ của vectơ ngẫu nhiên liên tục n chiều X =(X_1, X_2,\ldots, X_n) là hàm n biến f_X(x_1, x_2,\ldots,x_n)\geqslant 0 thỏa mãn

F_X(x_1, x_2,\ldots,x_n)=\Bbb P(X_1<x_1,X_2<x_2,\ldots,X_n<x_n)

   =\displaystyle\int\limits_{-\infty}^{x_1}\int\limits_{-\infty}^{x_2}\ldots \int\limits_{-\infty}^{x_n}f_X(t_1, t_2,\ldots,t_n)dt_1dt_2\ldots dt_n.

f_X(x_1, x_2,\ldots,x_n) còn được gọi là hàm mật độ đồng thời của X_1, X _2,\ldots, X_n.

Ta chỉ xét các vectơ ngẫu nhiên hai chiều (X, Y) với hàm phân bố xác suất là F(x, y)=\Bbb P(X<x, Y<y) và hàm mật độ xác suất (trong trường hợp (X, Y) là liên tục) là f(x, y). Khi đó

F(x, y)=\Bbb P(X<x, Y<y)

      =\displaystyle\int\limits_{-\infty}^{x}\int\limits_{-\infty}^{y}f(u, v)dudv.

Bài này đã được đăng trong Bài giảng xác suất thống kê, Chương 3. Vectơ ngẫu nhiên. Đánh dấu đường dẫn tĩnh.

Bình luận về bài viết này