Bài 2.3: Biến ngẫu nhiên liên tục

Đăng trong Tháng Tư 6, 2013 bởi math4rum

1) Khái niệm biến ngẫu nhiên liên tục

Định nghĩa 

Biến ngẫu nhiên X được gọi là liên tục nếu hàm phân bố xác suất của nó có đạo hàm, trong trường hợp này ta gọi f(x)=F'(x),\;x\in\Bbb R là hàm mật độ xác suất của biến ngẫu nhiên X.

2) Tính chất của hàm mật độ xác suất của biến ngẫu nhiên liên tục

Hàm mật độ xác suất f(x) của biến ngẫu nhiên liên tục X có các tính chất sau đây:

a) Nếu X là biến ngẫu nhiên liên tục với hàm mật độ xác suất f(x) thì

\begin{cases} f(x)\geqslant 0,\;x\in\Bbb R\\ \displaystyle\int\limits_{-\infty}^{+\infty} f(x)dx=1.\end{cases}

b) Nếu X là biến ngẫu nhiên liên tục với hàm phân bố xác suất F(x), hàm mật độ xác suất f(x) thì

F(t)=\displaystyle\int\limits_{-\infty}^{t} f(x)dx,\;t\in\Bbb R.

c) Nếu X là biến ngẫu nhiên liên tục với hàm phân bố xác suất F(x) và hàm mật độ xác suất f(x) thì với mọi a<b ta có

     \Bbb P(a< X<b)=\Bbb P(a\leqslant X\leqslant b)

=\Bbb P(a< X\leqslant b)

=\Bbb P(a\leqslant X<b)

=\displaystyle\int\limits_{a}^{b} f(x)dx.

Ví dụ 1

Cho X là biến ngẫu nhiên liên tục có hàm mật độ xác suất

f(x)=\begin{cases} kx^2(2-x)\text{ khi } 0\leqslant x\leqslant 2,\\ 0\text{ khi } x\notin [0; 2].\end{cases}

a) Tìm hằng số k.

b) Tính xác suất \Bbb P(1<X<3).

Lời giải

a) Ta có

         \displaystyle\int\limits_{-\infty}^{+\infty}f(x)dx=\displaystyle\int\limits_{-\infty}^{0}f(x)dx+\displaystyle\int\limits_{0}^{2}f(x)dx+\displaystyle\int\limits_{2}^{+\infty}f(x)dx

=\displaystyle\int\limits_{-\infty}^{0}0dx+\displaystyle\int\limits_{0}^{2}kx^2(2-x)dx+\displaystyle\int\limits_{2}^{+\infty}0dx

=0+k\displaystyle\int\limits_{0}^{2}x^2(2-x) dx+0

=\displaystyle\frac{4k}{3}.

Theo tính chất của hàm mật độ xác suất

\displaystyle\int\limits_{-\infty}^{+\infty}f(x)dx=1.

Do đó \displaystyle\frac{4k}{3}=1 hay k=\displaystyle\frac{3}{4}.

b) Ta có

    \Bbb P(1<X<3)=\displaystyle\int\limits_{1}^{3}f(x)dx

=\displaystyle\int\limits_{1}^{2}f(x)dx+\displaystyle\int\limits_{2}^{3}f(x)dx

=k\displaystyle\int\limits_{1}^{2}x^2(2-x)dx+\displaystyle\int\limits_{2}^{3}0dx

=\displaystyle\frac{11k}{12}+0

=\displaystyle\frac{3}{4}\times \displaystyle\frac{11}{12}

=\displaystyle\frac{11}{16}.

Vậy \Bbb P(1<X<3)=\displaystyle\frac{11}{16}

Ví dụ 2

Cho X là biến ngẫu nhiên liên tục có hàm mật độ xác suất

f(x)=\begin{cases} 0\text{ khi } x<0,\\ \displaystyle\frac{6x}{5}\text{ khi } 0\leqslant x\leqslant 1,\\ \displaystyle\frac{6}{5x^4}\text{ khi } x>1.\end{cases}

Tìm hàm phân bố xác suất của X.

Lời giải

Khi t< 0 thì

F(t)=\displaystyle\int\limits_{-\infty}^{t} f(x)dx=\displaystyle\int\limits_{-\infty}^{t}0dx=0.

Khi 0\leqslant t\leqslant 1 thì

F(t)=\displaystyle\int\limits_{-\infty}^{t}f(x)dx

=\displaystyle\int\limits_{-\infty}^{0}f(x)dx+\displaystyle\int\limits_{0}^{t}f(x)dx

=\displaystyle\int\limits_{-\infty}^{0}0dx+\displaystyle\int\limits_{0}^{t}\displaystyle\frac{6x}{5}dx

=0+\Big(\displaystyle\frac{3x^2}{5}\Big)\Bigg|_{0}^{t}

=\displaystyle\frac{3t^2}{5}.

Khi 1< t thì

       F(t)=\displaystyle\int\limits_{-\infty}^{t} f(x)dx

=\displaystyle\int\limits_{-\infty}^{0} f(x)dx+\displaystyle\int\limits_{0}^{1} f(x)dx+\displaystyle\int\limits_{1}^{t} f(x)dx

=\displaystyle\int\limits_{-\infty}^{0} 0dx+\displaystyle\int\limits_{0}^{1}\displaystyle\frac{6x}{5}dx+\displaystyle\int\limits_{1}^{t}\displaystyle\frac{6}{5x^4}dx

=0+\Big(\displaystyle\frac{3x^2}{5}\Big)\Bigg|_{0}^{1}+\Big(\displaystyle\frac{-2}{5x^3}\Big)\Bigg|_{1}^{t}

=1- \displaystyle\frac{2}{5t^3}.

Vậy

F(t)=\begin{cases} 0\text{ khi } t<0,\\ \displaystyle\frac{3t^2}{5}\text{ khi } 0\leqslant t\leqslant 1,\\ 1-\displaystyle\frac{2}{5t^3}\text{ khi } t>1.\end{cases}

Hay viết theo biến x

F(x)=\begin{cases} 0\text{ khi } x<0,\\ \displaystyle\frac{3x^2}{5}\text{ khi } 0\leqslant x\leqslant 1,\\ 1-\displaystyle\frac{2}{5x^3}\text{ khi } x>1.\end{cases}

Bài này đã được đăng trong Bài giảng xác suất thống kê, Chương 2. Biến ngẫu nhiên và quy luật phân bố xác suất của biến ngẫu nhiên. Đánh dấu đường dẫn tĩnh.

Bình luận về bài viết này